Convergence simple - Convergence point-par-point (série de fonctions) - Math'φsics

Convergence simple - Convergence point-par-point (série de fonctions)

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Définition

On dit que la série de fonctions \(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) converge simplement (point par point) sur \(X\) si pour chaque point \(x\in X\) fixé, la série numérique \(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) converge
L'application $$S:x\mapsto\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)$$ définit alors une fonction \(S:X\to{\Bbb R}\)
On utilise aussi la notation \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) pour désigner cette fonction

Sommes partielles

Pour une série de fonctions \(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\), les sommes partielles \(S_N=\sum^N_{n=0}f_n\) définissent une suite de fonctions \(S_N:X\to{\Bbb R}\)

(Suite de fonctions)

Carctérisation

Observation :
La série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) converge simplement si et seulement si \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\) converge \(\forall x\in X\)

Exercices

Prouver que la série $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=2}\frac{x\exp(-nx)}{\ln n}$$ converge simplement sur \({\Bbb R}_+\)

Majorer par une série géométrique
Pour \(x=0\), \(f_n(0)=0\;\forall n\) donc \(S(0)=0\)
Pour \(x\gt 0\), $$0\leqslant f_n(x)\leqslant\frac x{\ln n}e^{-nx}\leqslant\underbrace{\frac x{\ln2}}_{cste}\left(\frac1{e^x}\right)^n$$ c'est le terme général d'une série convergente car \(x\gt 0\implies e^x\gt 1\implies\frac1{e^x}\lt 1\)

Montrer que la série de fonctions \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}2nxe^{-nx^2}\) converge simplement sur \([0,+\infty[\)

Termes positifs
La série est à termes positifs, on peut donc appliquer les théorèmes

Majorer

On a \(n^2f_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) par croissances comparées, donc $$f_n(x)\leqslant\frac C{n^2}$$
Donc \(S(x)\) converge \(\forall x\in[0,+\infty[\)
Rétroliens :
- Série de fonctions